「何を文字に置けばいい？」
証明問題が解ける考え方

「何を文字で置けばいいのか分からない…」

証明問題が苦手な人から、よく聞く言葉です。

では、こんな問題を考えてみましょう。

《問題》

「連続する4つの整数の和は必ず2の倍数になることを証明しなさい。」

まず、本当にそうなるか確かめてみましょう。

1＋2＋3＋4＝10

5＋6＋7＋8＝26

10＋11＋12＋13＝46

たしかに、どれも偶数ですね。

でも、証明では「たまたまそうなった」では不十分です。


どんな連続する4つの整数でも必ずそうなることを示さなければなりません。

そこで考えてみてください。


連続する4つの整数を文字で表すとしたら、どの数を文字で置けばよさそうですか？

実は、こういう問題では、最初の整数を文字で置くことが多いです。

最初の整数を x とすると、その次の整数は何になりますか？

x+1 ですね。

では、その次は？

x+2。

さらにその次は？

x+3。

つまり、連続する4つの整数は

x, x+1, x+2, x+3　と表せます。

では、これらを全部足してみましょう。

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)

計算すると、

4x+6　になります。

ここで考えてみてください。

問題のゴールは何でしょうか？

「2の倍数になること」を証明したいですね。

では、「2の倍数」を別の言い方で表すとどうなりますか？


2×整数　です。


そこで 4x+6 を変形してみます。

4x+6=2(2x+3)　となります。

ここで 2x+3 は整数です。

つまり、　

2×整数　という形になりました。

したがって、この和は必ず2の倍数です。


証明問題で迷ったら、まず次の2つを自分に聞いてみてください。

① 問題の特徴は何だろう？　→ 今回なら「連続する整数」「和が必ず奇数になる」など。

② 最終的にどんな形を作ればいいんだろう？　→ 偶数なら「2×整数」奇数なら「2×整数+1」など。


この①、②が見えているだけで、「何を文字で置けばいいのか分からない」という状態から抜け出しやすくなります。


証明は難しい計算よりも、「どんな形にしたいのか」を先に考えることが大切です。