なぜドアを変えると当たりやすい？
モンティホール問題のふしぎw

条件付き確率に関するとても有名な問題です。

直感的にすぐ納得できる人もいますが，全く納得できない人も多いのでモンティ・ホールのジレンマと呼ばれることもあります。

《3つのドアがあるよ！》

まず、ゲームのルールを見てみましょう。
・ドアは3つあります。
・当たりは1つだけです。
・あとの2つはハズレです。

あなたは好きなドアを1つ選びます。でも、まだ開けません。
するとゲームの司会者が、残っている2つのドアの中から「ハズレのドア」を1つだけ開けて見せてくれます。
すると残るドアは2つです。

ここで司会者が言います。
「今なら、選んだドアをもう1つのドアに変えてもいいですよ。」

さて、このときドアを変えた方がいいのでしょうか？
それともそのままの方がいいのでしょうか？

《半分ずつじゃないの？》
多くの人は、「残りは2つだから、当たる確率は1/2じゃない？」と思います。
たしかに、見た目は2つのドアしか残っていません。
だから50％、50％に見えます。でも、実はそうではありません。

ここで少し極端な例を考えるとわかりやすくなります。

例えばドアが100個ある「100ドア問題」を想像してみてください。
当たりは1つだけで、あなたは最初に1つだけ選びます。
残り99個のうちから司会者がハズレを98個すべて開けると、最後に2つだけ残ります。

このとき直感では「もう2択だから50％ずつ」と思いたくなりますが、実は違います。
最初に当たりを選んでいる確率は1/100しかありません。つまり99/100の確率で最初はハズレを選んでいます。
その場合、司会者は当たり以外のハズレをすべて開けるため、最後に残るもう1つのドアが当たりになります。
だからドアを変更すると99/100の確率で当たるのです。

《本当は変えた方が当たりやすい！》
結論：ドアを変えた方が当たりやすいです。

実は、最初に選ぶと次の2つのパターンしかありません。
　・最初に当たりを選ぶ（3回に1回）→変えるとハズレになる
　・最初にハズレを選ぶ（3回に2回）→変えると当たりになる

つまり、変えると3回に2回当たり、変えないと3回に1回しか当たりません。
だから、ドアを変えると当たりになることが多いのです。

モンティホール問題は、「見た目」と「本当の確率」が違うことを教えてくれます。
人は、残りが2つになると「1/2」と考えてしまいます。
でも、司会者がハズレを開けても、最初に選んだドアの当たる確率は3分の1のまま変わりません。

だから、見た目だけで判断すると間違えてしまうことがあります。

モンティホール問題では、ドアを変えた方が当たる確率は3分の2、変えない場合は3分の1です。
この問題は、算数や数学だけでなく「よく考える力」を身につける練習にもなります。


ぜひ、みんなで考えながら、モンティホール問題のおもしろさを楽しんでみてください。

注）この結論は、「司会者は当たりの場所を知っていて、必ずハズレのドアを1つ開け、必ず変更の機会を与える」という条件のもとで成り立ちます。