1から100まで足すと？
一瞬の計算術

「1から100までの数字を全部足すといくつになるか」という問題を出されたとき、多くの人は「1たす2は3、3たす3は6…」と順番に計算しようとするのではないでしょうか。

普通に計算しようとすると何十回も足し算を繰り返さなければならず、途中で計算ミスをしてしまう可能性も高くなります。

しかし、ある工夫を使うことで、紙とペンを使わずに頭の中だけで一瞬にして「5050」という正しい答えを導き出すことができます。


この素晴らしい計算アイデアを生み出したのは、18世紀にドイツで生まれた天才数学者カール・フリードリヒ・ガウスです。

ガウスがまだ小学生だった頃、クラスの授業で先生が「1から100までの数字をすべて足しなさい」という課題を出しました。

他のクラスメイトたちが一生懸命に1から順々に足し算を計算している中、ガウス少年はわずか数秒で「5050です」と答えて先生を驚かせました。


ガウスが使った裏ワザの秘密は、「端と端の数字を組み合わせる」という視点の転換にあります。
1から100までの数字の並びをじっくり観察してみると、一番小さな「1」と一番大きな「100」を足すと「101」になります。

次に、2番目に小さな「2」と2番目に大きな「99」を足してみても、答えは「101」になります。
さらに「3と98」を足しても「101」になり、どの組み合わせを選んでも合計が必ず「101」になることが分かります。


1から100までの数字は全部で100個あります。

2つの数字をペアにして作っていくと、100個の数字からは「合計が101になるペア」がちょうど「50組」完成します。

つまり、面倒な100回の足し算をしなくても、「101が50個ある」と考えて「101かける50」という一回のかけ算をするだけで済むのです。

この掛け算を計算すると「5050」となり、一瞬で正解にたどり着くことができます。


この「逆から並べたものをセットにして計算をかんたんにする」という考え方は、のちに高校の数学で学ぶ「等差数列の和の公式」という大切な基礎になります。

一見すると果てしなく大変に見える計算であっても、数字の持つパターンや法則性に気づくことで一気にシンプルに解けるようになるのが、数学の持つ大きな魅力と言えます。